sistemas numericos

Sistema Binario

El sistema de numeración más simple que usa la notación posicional es el sistema de numeración binario. Este sistema, como su nombre lo indica, usa solamente dos dígitos (0,1).

Por su simplicidad y por poseer únicamente dos dígitos diferentes, el sistema de numeración binario se usa en computación para el manejo de datos e información. Normalmente al dígito cero se le asocia con cero voltios, apagado, desenergizado, inhibido (de la computadora) y el dígito 1 se asocia con +5, +12 volts, encendido, energizado (de la computadora) con el cual se forma la lógica positiva. Si la asociación es inversa, o sea el número cero se asocia con +5 volts o encendido y al número 1 se asocia con cero volts o apagado, entonces se genera la lógica negativa.

A la representación de un dígito binario se le llama bit (de la contracción binary digit) y al conjunto de 8 bits se le llama byte, así por ejemplo: 110 contiene 3 bits, 1001 contiene 4 y 1 contiene 1 bit. Como el sistema binario usa la notación posicional entonces el valor de cada dígito depende de la posición que tiene en el número, así por ejemplo el número 110101_b es:

1*(2⁰) + 0*(2¹) + 1*(2²) + 0*(2³) + 1*(2⁴) + 1*(2⁵) = 1 + 4 + 16 + 32 = 53_d

La computadora está diseñada sobre la base de numeración binaria (base 2). Por eso este caso particular merece mención aparte. Siguiendo las reglas generales para cualquier base expuestas antes, tendremos que:

Existen dos dígitos (0 o 1) en cada posición del número.

Numerando de derecha a izquierda los dígitos de un número, empezando por cero, el valor decimal de la posición es 2n.

Por ejemplo,1101₂ (en base 2) quiere decir:

1*(2³) + 1*(2²) + 0*(2¹) + 1*(2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀

Sistema Octal

El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452.32_q tenemos:

2*(8⁰) + 5*(8¹) + 4*(8²) + 3*(8³) + 3*(8^-1) + 2*(8^-2) = 2 + 40 + 4*64 + 64 + 3*512 + 3*0.125 + 2*0.015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 + 40625_dentonces, 3452.32_q = 1834.40625_d

El subindice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra o y el número 0. 

Sistema Hexadecimal

Un gran problema con el sistema binario es la verbosidad. Para representar el valor 20210 se requieren ocho dígitos binarios, la versión decimal sólo requiere de tres dígitos y por lo tanto los números se representan en forma mucho más compacta con respecto al sistema numérico binario. Desafortunadamente las computadoras trabajan en sistema binario y aunque es posible hacer la conversión entre decimal y binario, ya vimos que no es precisamente una tarea cómoda. El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16, resuelve este problema (es común abreviar hexadecimal como hex aunque hex significa base seis y no base dieciseis). El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido a ésto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema numérico hexadecimal. Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16, por ejemplo, el número 123416 es igual a:

1*163 + 2*162 + 3*161 + 4*160

lo que da como resultado:

4096 + 512 + 48 + 4 = 466010

Cada dígito hexadecimal puede representar uno de dieciseis valores entre 0 y 1510. Como sólo tenemos diez dígitos decimales, necesitamos inventar seis dígitos adicionales para representar los valores entre 1010 y 1510. En lugar de crear nuevos simbolos para estos dígitos, utilizamos las letras A a la F. La conversión entre hexadecimal y binario es sencilla, considere la siguiente tabla:

Binario             Hexadecimal 
  
  0000                   0 
  0001                   1 
  0010                   2 
  0011                   3 
  0100                   4 
  0101                   5 
  0110                   6 
  0111                   7 
  1000                   8 
  1001                   9 
  1010                   A 
  1011                   B 
  1100                   C 
  1101                   D 
  1110                   E 
  1111                   F

Esta tabla contiene toda la información necesaria para convertir de binario a hexadecimal y visceversa. Para convertir un número hexadecimal en binario, simplemente sustituya los correspondientes cuatro bits para cada dígito hexadecimal, por ejemplo, para convertir 0ABCDh en un valor binario:

0 A B C D (Hexadecimal)
0000 1010 1011 1100 1101 (Binario)

Por comodidad, todos los valores numéricos los empezaremos con un dígito decimal; los valores hexadecimales terminan con la letra h y los valores binarios terminan con la letra b. La conversión de formato binario a hexadecimal es casi igual de fácil, en primer lugar necesitamos asegurar que la cantidad de dígitos en el valor binario es múltiplo de 4, en caso contrario agregaremos ceros a la izquierda del valor, por ejemplo el número binario 1011001010, la primera etapa es agregarle dos ceros a la izquierda para que contenga doce ceros: 001011001010. La siguiente etapa es separar el valor binario en grupos de cuatro bits, así: 0010 1100 1010. Finalmente buscamos en la tabla de arriba los correspondientes valores hexadecimales dando como resultado, 2CA, y siguiendo la convención establecida: 02CA_h. 

El sistema numérico decimal

El sistema de numeración decimal es el más usado, tiene como base el número 10, o sea que posee 10 dígitos (o simbolos) diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). El sistema de numeración decimal fué desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo. Si se aplica la notación posicional al sistema de numeración decimal entonces el dígito número n tiene el valor: (10ⁿ)* A

Este valor es positivo y es mayor o igual que uno si el dígito se localiza a la izquierda del punto decimal y depende del dígito A, en cambio el valor es menor que uno si el dígito se localiza a la derecha del punto decimal. Por ejemplo, el número 3489.125 expresado en la notación posicional

m = posición del dígito que se localiza a la derecha
k = posición del dígito que se localiza a la izquierda
b = valor de la base
n = posición del dígito a evaluar
a = dígito a evaluar

para el ejemplo:

= 5*(10^-3) + 2*(10^-2) + 1*(10^-1) + 9*(10⁰) + 8*(10¹) + 4*(10²) + 3*(10³)
= 0.005 + 0.02 + 0.1 + 9 + 80 + 400 + 3000
= 3489.125

Notación Posicional del Sistema

(10^-6) = 0.000001
(10^-5) = 0.00001
(10^-4) = 0.0001
(10^-3) = 0.001
(10^-2) = 0.01
(10^-1) = 0.1
(10⁰) = 1
(10¹) = 10
(10²) = 100
(10³) = 1000
(10⁴) = 10000
(10⁵) = 100000
(10⁶) = 10000000